Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)
O cálculo do mínimo múltiplo comum é muito útil para a Matemática. Muitas vezes fazemos este cálculo mentalmente sem nos apercebermos, mas por vezes é necessário fazer cálculos.
24 é divisível por 3, portanto dizemos que 24 é múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.
Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
Observações importantes:
1. Um número tem infinitos múltiplos
2. Zero é múltiplo de qualquer número natural.
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
Vamos encontrar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a factoração. Vê o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
1. Decompomos os números em factores primos
2. O m.m.c. é o produto dos factores primos comuns e não-comuns:
12=2x2x3
30=2x3x5
m.m.c (12,30)=2x2x3x5
Escrevendo a factoração dos números na forma de potência, temos:
12=22x3
30=2x3x5
m.m.c (12,30)=22x3x5
Máximo divisor comum (m.d.c.)
O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c).
Consideremos os conjuntos dos divisores de 12 e 18
D12 = {1;2;3;4;6;12}
D18 = {1;2;3;6;9;18}
Os mesmos divisores ou números que aparecem em D12 e D18 são {1;2;3;6} , os números ou divisores {4;9;12;18} aparecem mas não são comuns nos dois divisores.
O maior desses divisores comuns é 6 então indicamos que o máximo divisor comum entre 12 e 18 é 6: m.d.c (12;18)=6
Contudo, há um processo simples para determinar o m.d.c. de um ou mais números: pela decomposição em factores primos (facturação).
Vamos determinar o m.d.c. de 18 e 60:
18 | 2
09 | 3
03 | 3
01 |
60 | 2
30 | 2
15 | 3
05 | 5
01 |
18 = 2 x 3 x 3
60 = 2 x 2 x 3 x 5
Os números comuns nas duas factorações é um número 2 e um número 3
Como 2 x 3=6, o máximo divisor comum entre 18 e 60 é 6, m.d.c(18;60)=6